Ecuación estimada
Tabla de coeficientes
Estadísticos del modelo
Interpretación de los coeficientes
Guía según la forma funcional
- Nivel-nivel: \(Y = \beta_0 + \beta_1 X\). Si X aumenta una unidad, Y varía \(\beta_1\) unidades.
- Log-nivel: \(\ln Y = \beta_0 + \beta_1 X\). Si X aumenta una unidad, Y varía aproximadamente un \(100\,\beta_1\) % (exactamente \(100(e^{\beta_1}-1)\) %).
- Nivel-log: \(Y = \beta_0 + \beta_1 \ln X\). Si X aumenta un 1 %, Y varía \(\beta_1/100\) unidades.
- Log-log: \(\ln Y = \beta_0 + \beta_1 \ln X\). \(\beta_1\) es la elasticidad: si X aumenta un 1 %, Y varía un \(\beta_1\) %.
Se consideran en logaritmos las variables cuyo nombre empieza por «log» o «ln».
En notación matricial, \(\mathbf{y} = \mathbf{X}\boldsymbol\beta + \mathbf{u}\). El estimador MCO y su matriz de varianzas y covarianzas son:
$$\hat{\boldsymbol\beta} = (\mathbf{X}'\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}'\mathbf{y} \qquad \widehat{\operatorname{Var}}(\hat{\boldsymbol\beta}) = \hat\sigma^2 (\mathbf{X}'\mathbf{X})^{-1}, \quad \hat\sigma^2 = \frac{\hat{\mathbf{u}}'\hat{\mathbf{u}}}{n-k}$$
Matriz X (con la columna de unos de la constante)
Vector y
X′X
X′y
(X′X)⁻¹
β̂ = (X′X)⁻¹X′y
Matriz de varianzas y covarianzas estimada σ̂²(X′X)⁻¹
La variación total de Y se descompone en la parte explicada por la regresión y la parte no explicada (los errores):
$$\underbrace{\sum (Y_i-\bar Y)^2}_{SCT} = \underbrace{\sum (\hat Y_i-\bar Y)^2}_{SCR\ \text{(regresión)}} + \underbrace{\sum \hat u_i^2}_{SCE\ \text{(errores)}} \qquad R^2 = \frac{SCR}{SCT} = 1-\frac{SCE}{SCT} \qquad \bar R^2 = 1-\frac{SCE/(n-k)}{SCT/(n-1)}$$
Tabla de análisis de la varianza
Medidas de ajuste
Descomposición por observación
Cada columna suma la correspondiente suma de cuadrados (última fila).
Plantea un contraste sobre cualquier coeficiente del modelo y observa dónde cae el estadístico t respecto a la región de rechazo.
$$IC_{1-\alpha}(\beta_j) = \hat\beta_j \pm t_{\alpha/2;\,n-k}\; ee(\hat\beta_j)$$
El nivel de confianza es 1 − α, con α elegido en la barra lateral.
Para \(\theta = \mathbf{c}'\boldsymbol\beta\): $$\hat\theta \pm t_{\alpha/2;\,n-k}\sqrt{\mathbf{c}'\,\widehat{\operatorname{Var}}(\hat{\boldsymbol\beta})\,\mathbf{c}}$$
- Para un solo coeficiente: 1 en su multiplicador y 0 en los demás.
- Para comparar dos coeficientes (β₁ = β₂): 1 en uno y −1 en el otro; si el intervalo contiene el 0, no se descarta que sean iguales.
- Para una suma (β₁ + β₂), por ejemplo los rendimientos a escala en una Cobb-Douglas: 1 en ambos.
$$\frac{(n-k)\hat\sigma^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-k} \;\Rightarrow\; IC_{1-\alpha}(\sigma^2) = \left[\frac{(n-k)\hat\sigma^2}{\chi^2_{1-\alpha/2;\,n-k}},\; \frac{(n-k)\hat\sigma^2}{\chi^2_{\alpha/2;\,n-k}}\right]$$
Para unos valores \(\mathbf{x}_0\) de los regresores, \(\hat Y_0 = \mathbf{x}_0'\hat{\boldsymbol\beta}\) y
$$\text{Media: } \hat Y_0 \pm t_{\alpha/2;\,n-k}\,\hat\sigma\sqrt{\mathbf{x}_0'(\mathbf{X}'\mathbf{X})^{-1}\mathbf{x}_0} \qquad \text{Valor individual: } \hat Y_0 \pm t_{\alpha/2;\,n-k}\,\hat\sigma\sqrt{1+\mathbf{x}_0'(\mathbf{X}'\mathbf{X})^{-1}\mathbf{x}_0}$$
Valores de los regresores (x₀)
Por defecto, la media muestral de cada regresor.
$$VIF_j = \frac{1}{1-R_j^2}$$ donde \(R_j^2\) es el R² de la regresión de \(X_j\) sobre los demás regresores. Referencias habituales: VIF > 10 indica multicolinealidad grave; entre 5 y 10, moderada.
Factores de inflación de la varianza
Correlaciones entre los regresores
Contraste RESET de Ramsey: se añaden potencias de \(\hat Y\) al modelo y se contrasta con una F que sus coeficientes sean nulos. Si son significativas, la forma funcional lineal es inadecuada (no linealidades o variables omitidas).
Con una ficticia \(D\in\{0,1\}\) y un regresor \(X\): $$Y = \beta_0 + \delta_0 D + \beta_1 X + \delta_1 (D\cdot X) + u$$ \(\delta_0\) mide el cambio en la ordenada y \(\delta_1\) el cambio en la pendiente del grupo D = 1 respecto al grupo de referencia D = 0.
Modelo estimado con la ficticia
En todos ellos H₀: homocedasticidad, Var(uᵢ) = σ² constante; H₁: la varianza depende de los regresores.
MCO con errores estándar habituales y robustos
MCG factible
Se supone \(\operatorname{Var}(u_i|\mathbf{x}_i) = \sigma^2 \exp(\mathbf{x}_i'\boldsymbol\delta)\): se estima \(\ln \hat u_i^2\) sobre los regresores, \(\hat h_i = \exp(\widehat{\ln \hat u_i^2})\), y se estima por mínimos cuadrados ponderados con pesos \(1/\hat h_i\).
$$d = \frac{\sum_{t=2}^n (\hat u_t - \hat u_{t-1})^2}{\sum_{t=1}^n \hat u_t^2} \approx 2(1-\hat\rho)$$
Errores estándar de Newey-West
MCG factible con errores AR(1)
Se usan la variable dependiente y los regresores numéricos de la barra lateral, ordenados por la variable temporal.
ADF: $$\Delta Y_t = \alpha + \beta t + \gamma Y_{t-1} + \sum_{i=1}^{p} \phi_i \Delta Y_{t-i} + \varepsilon_t \qquad H_0: \gamma = 0 \text{ (raíz unitaria)} \quad H_1: \gamma < 0$$
El estadístico τ = γ̂/ee(γ̂) no sigue una t de Student: se compara con los valores críticos de Dickey-Fuller (MacKinnon, 1996). El KPSS invierte las hipótesis: H₀ es la estacionariedad. Usar los dos a la vez es una buena práctica.
Paso 1: relación de largo plazo
$$\Delta Y_t = \alpha_0 + \sum_j \alpha_j \Delta X_{jt} + \gamma\, \hat u_{t-1} + \varepsilon_t, \qquad \hat u_{t-1} = Y_{t-1} - \hat\beta_0 - \sum_j \hat\beta_j X_{j,t-1}$$
\(\alpha_j\) recoge el efecto a corto plazo y \(\gamma\) (que debe ser negativo y significativo) la velocidad de ajuste hacia el equilibrio de largo plazo.