Black-Scholes: formulación matemática

Supuestos
Derivación
Fórmulas
Griegas
Ejemplo numérico
Metodología

Hipótesis del modelo

Dinámica del subyacente. El precio sigue un movimiento browniano geométrico: $$dS_t = \mu\,S_t\,dt + \sigma\,S_t\,dW_t$$ con rentabilidad esperada $\mu$ y volatilidad $\sigma$ constantes; $W_t$ es un proceso de Wiener. Equivale a que los rendimientos logarítmicos sean normales y el precio, lognormal.
Tipo de interés libre de riesgo $r$ constante y conocido, igual para prestar y para pedir prestado.
Sin dividendos durante la vida de la opción (Merton lo amplió a una rentabilidad por dividendo continua $q$).
Mercados perfectos: sin costes de transacción ni impuestos, activos perfectamente divisibles y ventas en corto permitidas.
Negociación continua, lo que permite ajustar la cartera de cobertura en cada instante.
Ausencia de oportunidades de arbitraje.
Opción europea: solo se ejerce en el vencimiento $T$.

Notación

$S$ (o $S_0$): precio actual del subyacente.
$K$: precio de ejercicio.
$T$: plazo hasta el vencimiento, en años.
$r$: tipo de interés libre de riesgo, en capitalización continua.
$\sigma$: volatilidad anual de los rendimientos logarítmicos.
$q$: rentabilidad por dividendo continua (0 en el modelo original).
$N(\cdot)$ y $\varphi(\cdot)$: función de distribución y densidad de la normal estándar.

La hipótesis más discutida es la volatilidad constante: en el mercado, la volatilidad implícita varía con el precio de ejercicio (sonrisa o skew) y con el plazo.

1. Lema de Itô

Si el valor de la opción es $f(S, t)$, el lema de Itô da su dinámica:

$$df = \left(\frac{\partial f}{\partial t} + \mu S \frac{\partial f}{\partial S} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\right)dt + \sigma S \frac{\partial f}{\partial S}\,dW_t$$

La opción y la acción dependen de la misma fuente de incertidumbre $dW_t$.

2. Cartera sin riesgo (cobertura delta)

Se vende una opción y se compran $\Delta = \partial f/\partial S$ acciones:

$$\Pi = -f + \frac{\partial f}{\partial S}\,S \qquad\Longrightarrow\qquad d\Pi = \left(-\frac{\partial f}{\partial t} - \frac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\right)dt$$

El término en $dW_t$ desaparece: durante un instante la cartera no tiene riesgo y, por no arbitraje, debe rendir el tipo libre de riesgo, $d\Pi = r\,\Pi\,dt$.

3. Ecuación en derivadas parciales de Black-Scholes

$$\frac{\partial f}{\partial t} + r S \frac{\partial f}{\partial S} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 f}{\partial S^2} = r f$$

La rentabilidad esperada $\mu$ no aparece: el precio no depende de las preferencias por el riesgo. Cada derivado se distingue solo por su condición final; para una call europea, $f(S, T) = \max(S - K, 0)$.

4. Valoración neutral al riesgo

Como $\mu$ no interviene, se puede suponer un mundo neutral al riesgo en el que $\mu = r$. Allí

$$\ln S_T \sim \mathcal{N}\left(\ln S + \left(r - \tfrac{1}{2}\sigma^2\right)T,\; \sigma^2 T\right) \qquad C = e^{-rT}\,\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\max(S_T - K, 0)\right]$$

5. Cálculo de la esperanza

Separando los dos términos del pago:

$$\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[S_T\,\mathbf{1}_{\{S_T > K\}}\right] = S\,e^{rT}N(d_1) \qquad \mathbb{Q}(S_T > K) = N(d_2)$$$$d_2 = \frac{\ln(S/K) + (r - \sigma^2/2)\,T}{\sigma\sqrt{T}} \qquad d_1 = d_2 + \sigma\sqrt{T}$$

y sustituyendo se obtiene la fórmula de la call:

$$C = e^{-rT}\left[S\,e^{rT}N(d_1) - K\,N(d_2)\right] = S\,N(d_1) - K\,e^{-rT}N(d_2)$$

La put se obtiene igual con el pago $\max(K - S_T, 0)$, o directamente de la paridad put-call.

Call y put europeas

$$C = S\,N(d_1) - K\,e^{-rT}N(d_2) \qquad\qquad P = K\,e^{-rT}N(-d_2) - S\,N(-d_1)$$$$d_1 = \frac{\ln(S/K) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)T}{\sigma\sqrt{T}} \qquad\qquad d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}$$

Interpretación

$N(d_2)$: probabilidad, en el mundo neutral al riesgo, de que la call se ejerza ($S_T > K$).
$K\,e^{-rT}N(d_2)$: valor actual del pago esperado del precio de ejercicio.
$S\,N(d_1)$: valor actual de recibir la acción si la opción se ejerce. $N(d_1)$ es además la delta de la call.

Extensión de Merton: dividendo continuo $q$

$$C = S\,e^{-qT}N(d_1) - K\,e^{-rT}N(d_2) \qquad P = K\,e^{-rT}N(-d_2) - S\,e^{-qT}N(-d_1) \qquad d_1 = \frac{\ln(S/K) + \left(r - q + \frac{\sigma^2}{2}\right)T}{\sigma\sqrt{T}}$$

Con $q$ igual al tipo extranjero se obtiene el modelo de Garman-Kohlhagen para divisas, y con $q = r$ aplicado al futuro, el modelo de Black-76.

Paridad put-call

$$C - P = S\,e^{-qT} - K\,e^{-rT}$$

Se deduce sin ningún modelo: una call comprada y una put vendida con el mismo $K$ y $T$ replican un forward.

Límites de arbitraje

$$\max\left(S\,e^{-qT} - K\,e^{-rT},\,0\right) \le C \le S\,e^{-qT} \qquad \max\left(K\,e^{-rT} - S\,e^{-qT},\,0\right) \le P \le K\,e^{-rT}$$

Casos límite

$S \gg K$: $C \to S\,e^{-qT} - K\,e^{-rT}$ (la opción se comporta como un forward) y $P \to 0$.
$\sigma \to 0$ o $T \to 0$: la prima tiende al valor intrínseco del forward descontado.
$\sigma \to \infty$: $C \to S\,e^{-qT}$, su cota superior.

Las griegas miden la sensibilidad de la prima a cada parámetro (con dividendo continuo $q$; para el modelo original, $q = 0$).

Griega	Definición	Call	Put
Delta	$\partial V/\partial S$	$e^{-qT}N(d_1)$	$e^{-qT}\left[N(d_1) - 1\right]$
Gamma	$\partial^2 V/\partial S^2$	$\dfrac{e^{-qT}\varphi(d_1)}{S\,\sigma\sqrt{T}}$	Igual que la call
Vega	$\partial V/\partial \sigma$	$S\,e^{-qT}\varphi(d_1)\sqrt{T}$	Igual que la call
Theta	$\partial V/\partial t$	$-\dfrac{S e^{-qT}\varphi(d_1)\sigma}{2\sqrt{T}} - rKe^{-rT}N(d_2) + qSe^{-qT}N(d_1)$	$-\dfrac{S e^{-qT}\varphi(d_1)\sigma}{2\sqrt{T}} + rKe^{-rT}N(-d_2) - qSe^{-qT}N(-d_1)$
Rho	$\partial V/\partial r$	$K\,T\,e^{-rT}N(d_2)$	$-K\,T\,e^{-rT}N(-d_2)$

Relaciones útiles

$\Delta_C - \Delta_P = e^{-qT}$, consecuencia directa de la paridad put-call.
La propia ecuación de Black-Scholes relaciona las griegas: $\Theta + (r - q)\,S\,\Delta + \tfrac{1}{2}\sigma^2 S^2\,\Gamma = r\,V$.
Una cartera neutral en delta y en gamma solo gana o pierde por el paso del tiempo y por la volatilidad.

Unidades habituales en mercado: vega y rho por punto porcentual (dividir entre 100) y theta por día (dividir entre 365).

Datos del ejemplo

Precio del subyacente, S (€)

Precio de ejercicio, K (€)

Tipo de interés continuo, r (%)

Volatilidad, σ (%)

Plazo, T (años)

Dividendo continuo, q (%)

Fórmulas y ejemplo (PDF)

Call

prima europea

Put